【x的平方sinx积分公式】在微积分中，求解形如 $ x^2 \sin x $ 的函数积分是一个常见的问题。这类积分通常需要使用分部积分法（Integration by Parts）来解决。本文将对 $ \int x^2 \sin x \, dx $ 的积分过程进行总结，并以表格形式展示关键步骤与结果。
一、积分思路
对于 $ \int x^2 \sin x \, dx $，由于被积函数是多项式与三角函数的乘积，因此适合使用分部积分法。该方法的基本公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
在本题中，我们选择：
- $ u = x^2 $ → $ du = 2x \, dx $
- $ dv = \sin x \, dx $ → $ v = -\cos x $
通过一次分部积分后，得到：
$$
\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx
$$
接下来，对新的积分 $ \int 2x \cos x \, dx $ 再次使用分部积分法：
- $ u = 2x $ → $ du = 2 \, dx $
- $ dv = \cos x \, dx $ → $ v = \sin x $
再次应用公式：
$$
\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x + C
$$
最终，将所有部分合并得到：
$$
\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C
$$
二、关键步骤总结表
| 步骤 | 积分表达式 | 分部积分选择 | 结果 |
| 1 | $ \int x^2 \sin x \, dx $ | $ u = x^2, dv = \sin x dx $ | $ -x^2 \cos x + \int 2x \cos x dx $ |
| 2 | $ \int 2x \cos x \, dx $ | $ u = 2x, dv = \cos x dx $ | $ 2x \sin x - \int 2 \sin x dx $ |
| 3 | $ \int 2 \sin x \, dx $ | — | $ -2 \cos x + C $ |
| 4 | 合并所有项 | — | $ -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C $ |
三、结论
通过对 $ x^2 \sin x $ 的多次分部积分，我们可以得出其不定积分的完整表达式为：
$$
\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C
$$
此公式在工程、物理及数学分析中具有广泛应用，尤其在处理周期性函数与多项式乘积时非常有用。理解其推导过程有助于提升对分部积分法的掌握和应用能力。
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