【lnxdx的不定积分的分部积分法怎么求】在微积分中，求解函数 $ \int \ln x \, dx $ 是一个常见的问题。虽然直接积分较为简单，但若使用分部积分法来求解，可以更深入地理解积分的过程和方法。以下是对该积分的总结与分析。
一、分部积分法的基本原理
分部积分法是基于乘积法则的逆运算，其公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
在应用时，需要合理选择 $ u $ 和 $ dv $，使得 $ \int v \, du $ 比原积分更容易计算。
二、对 $ \int \ln x \, dx $ 的分部积分法求解步骤
我们设：
- $ u = \ln x $
- $ dv = dx $
则：
- $ du = \frac{1}{x} dx $
- $ v = x $
代入分部积分公式：
$$
\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + C
$$
三、总结与表格对比
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 设定 $ u $ 和 $ dv $ | $ u = \ln x $, $ dv = dx $ |
| 2 | 求导 $ u $ 和积分 $ dv $ | $ du = \frac{1}{x} dx $, $ v = x $ |
| 3 | 应用分部积分公式 | $ \int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx $ |
| 4 | 简化结果 | $ x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + C $ |
四、最终答案
$$
\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C
$$
其中 $ C $ 为积分常数。
五、注意事项
- 分部积分法适用于可拆分为两个部分的函数，尤其是含有对数、指数或多项式的组合。
- 在实际应用中，选择合适的 $ u $ 和 $ dv $ 是关键，通常遵循“LIATE”规则（Logarithmic, Inverse trigonometric, Algebraic, Trigonometric, Exponential）进行优先级排序。
通过以上步骤，我们可以清晰地看到如何利用分部积分法求解 $ \int \ln x \, dx $，并掌握其背后的逻辑与技巧。
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