【长方体与正方体的表面积较难习题】在小学数学中，长方体与正方体的表面积计算是一个重要的知识点，它不仅考察学生的空间想象能力，还涉及对几何图形特征的理解。虽然基础公式较为简单，但当题目难度提升时，往往需要学生具备更强的逻辑分析能力和灵活运用知识的能力。
本文将围绕“长方体与正方体的表面积”这一主题，提供一些具有挑战性的练习题，并附上详细的解题思路，帮助学生深入理解相关概念，提高解题技巧。
一、基础回顾
- 长方体的表面积 = 2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)
- 正方体的表面积 = 6×边长²
这些公式是解决复杂问题的基础，但在实际应用中，常常会遇到一些变形或组合图形的问题。
二、典型难题解析
题目1：
一个长方体的底面是一个正方形，其高度为10厘米，整个长方体的表面积是480平方厘米。求这个长方体的底面边长。
解题思路：
设底面边长为 $ x $ 厘米，则底面面积为 $ x^2 $ 平方厘米，底面周长为 $ 4x $ 厘米。
由于底面是正方形，因此上下两个底面的总面积为 $ 2x^2 $，四个侧面的面积总和为 $ 4x \times 10 = 40x $。
根据表面积公式：
$$
2x^2 + 40x = 480
$$
整理得：
$$
x^2 + 20x - 240 = 0
$$
解这个二次方程：
$$
x = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 + 4 \times 240}}{2} = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 960}}{2} = \frac{-20 \pm \sqrt{1360}}{2}
$$
继续化简可得 $ x = 8 $（舍去负数解）。
答案：底面边长为8厘米。
题目2：
一个正方体被切割成两个相同的长方体后，表面积增加了48平方厘米。求原正方体的表面积。
解题思路：
将一个正方体沿某一面切开，会增加两个新的面。这两个面的面积之和为48平方厘米，即每个面的面积为24平方厘米。
因为是正方体，所以每个面的面积等于边长的平方，即：
$$
a^2 = 24 \Rightarrow a = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}
$$
原正方体的表面积为：
$$
6a^2 = 6 \times 24 = 144 \text{ 平方厘米}
$$
答案：原正方体的表面积为144平方厘米。
题目3：
一个长方体的长、宽、高分别为 $ a $、$ b $、$ c $，若将其各边都延长1单位，那么表面积增加了多少？
解题思路：
原表面积为：
$$
S_1 = 2(ab + bc + ac)
$$
新表面积为：
$$
S_2 = 2[(a+1)(b+1) + (b+1)(c+1) + (a+1)(c+1)]
$$
展开并简化后，比较 $ S_2 - S_1 $ 即可得到增加的表面积。
经过计算，最终结果为：
$$
2(a + b + c) + 6
$$
答案：表面积增加了 $ 2(a + b + c) + 6 $ 平方单位。
三、总结与建议
长方体与正方体的表面积问题看似简单，但随着题型的变化，学生需要具备较强的分析能力和综合运用能力。建议同学们在学习过程中多做变式题，注重理解公式的本质，而不是死记硬背。同时，通过画图辅助思考，有助于更直观地理解几何结构。
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