【复合函数求导公式】在微积分中，复合函数的求导是学习导数过程中一个非常重要的部分。复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，其求导需要用到“链式法则”（Chain Rule）。掌握复合函数的求导方法，有助于解决实际问题中的复杂函数求导问题。
以下是对复合函数求导公式的总结与整理，便于理解和记忆。
一、复合函数求导的基本概念
复合函数是指由两个或多个函数嵌套构成的函数，形式为：
$$ y = f(g(x)) $$
其中，$ g(x) $ 是内层函数，$ f(u) $ 是外层函数，$ u = g(x) $。
求导时，需要先对外层函数求导，再对内层函数求导，然后将两者相乘。
二、复合函数求导公式（链式法则）
设 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则复合函数 $ y = f(g(x)) $ 的导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：
$$
\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
三、常见复合函数求导示例
| 函数形式 | 外层函数 | 内层函数 | 导数公式 | 示例 |
| $ y = \sin(3x) $ | $ \sin(u) $ | $ u = 3x $ | $ \cos(3x) \cdot 3 $ | $ \frac{d}{dx}[\sin(3x)] = 3\cos(3x) $ |
| $ y = e^{x^2} $ | $ e^u $ | $ u = x^2 $ | $ e^{x^2} \cdot 2x $ | $ \frac{d}{dx}[e^{x^2}] = 2x e^{x^2} $ |
| $ y = \ln(\sqrt{x}) $ | $ \ln(u) $ | $ u = \sqrt{x} $ | $ \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} $ | $ \frac{d}{dx}[\ln(\sqrt{x})] = \frac{1}{2x} $ |
| $ y = (x^3 + 1)^5 $ | $ u^5 $ | $ u = x^3 + 1 $ | $ 5(x^3 + 1)^4 \cdot 3x^2 $ | $ \frac{d}{dx}[(x^3 + 1)^5] = 15x^2(x^3 + 1)^4 $ |
四、注意事项
1. 正确识别内外层函数：在应用链式法则前，必须明确哪一个是外层函数，哪一个是内层函数。
2. 逐层求导：如果函数是多层嵌套，如 $ y = f(g(h(x))) $，则需多次应用链式法则。
3. 注意中间变量的变化：每个导数都应基于当前变量进行计算，避免混淆。
五、总结
复合函数的求导是微积分中的一项基本技能，掌握好链式法则可以帮助我们处理各种复杂的函数表达式。通过理解外层和内层函数的关系，并熟练运用导数公式，可以提高解题效率和准确性。
| 求导方法 | 链式法则 | 适用范围 | 优点 |
| 链式法则 | 是 | 复合函数 | 系统性强，适用于多层嵌套 |
| 直接代入法 | 否 | 简单函数 | 快速但不适用于复杂函数 |
通过不断练习和应用，可以更加灵活地掌握复合函数的求导技巧。
以上就是【复合函数求导公式】相关内容，希望对您有所帮助。
