【伴随矩阵求解例题】在线性代数中，伴随矩阵（Adjugate Matrix）是一个重要的概念，常用于求解矩阵的逆。伴随矩阵是原矩阵的余子矩阵的转置。掌握伴随矩阵的计算方法，有助于更深入地理解矩阵的性质和应用。
本文将通过一个具体的例题，详细讲解如何求解伴随矩阵，并以表格形式总结关键步骤与结果，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、例题题目
已知矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 5 \\
1 & 0 & 6 \\
\end{bmatrix}
$$
求其伴随矩阵 $ \text{adj}(A) $。
二、求解过程
步骤1：计算每个元素的余子式
余子式 $ M_{ij} $ 是去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后的行列式值。伴随矩阵是这些余子式的转置。
我们逐个计算 $ A $ 的每个元素的余子式：
| 元素位置 | 余子式 $ M_{ij} $ | 计算过程 |
| $ M_{11} $ | $ \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} = 4×6 - 5×0 = 24 $ | 去掉第一行第一列 |
| $ M_{12} $ | $ \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} = 0×6 - 5×1 = -5 $ | 去掉第一行第二列 |
| $ M_{13} $ | $ \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0×0 - 4×1 = -4 $ | 去掉第一行第三列 |
| $ M_{21} $ | $ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} = 2×6 - 3×0 = 12 $ | 去掉第二行第一列 |
| $ M_{22} $ | $ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} = 1×6 - 3×1 = 3 $ | 去掉第二行第二列 |
| $ M_{23} $ | $ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1×0 - 2×1 = -2 $ | 去掉第二行第三列 |
| $ M_{31} $ | $ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 2×5 - 3×4 = -2 $ | 去掉第三行第一列 |
| $ M_{32} $ | $ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 1×5 - 3×0 = 5 $ | 去掉第三行第二列 |
| $ M_{33} $ | $ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 1×4 - 2×0 = 4 $ | 去掉第三行第三列 |
步骤2：构造余子矩阵
根据上述余子式，构造余子矩阵 $ C $：
$$
C = \begin{bmatrix}
24 & -5 & -4 \\
12 & 3 & -2 \\
-2 & 5 & 4 \\
\end{bmatrix}
$$
步骤3：求伴随矩阵
伴随矩阵是余子矩阵的转置，即：
$$
\text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix}
24 & 12 & -2 \\
-5 & 3 & 5 \\
-4 & -2 & 4 \\
\end{bmatrix}
$$
三、总结表格
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 计算余子式 | 对于每个元素 $ a_{ij} $，计算去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后的行列式 |
| 2 | 构造余子矩阵 | 将所有余子式按原位置排列形成矩阵 |
| 3 | 求伴随矩阵 | 取余子矩阵的转置，得到伴随矩阵 |
| 最终结果 | $ \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 24 & 12 & -2 \\ -5 & 3 & 5 \\ -4 & -2 & 4 \end{bmatrix} $ | 伴随矩阵 |
四、小结
伴随矩阵的计算虽然过程繁琐，但通过分步进行、逐步求解，可以有效降低出错率。掌握伴随矩阵的计算方法不仅有助于理解矩阵的逆运算，还能为后续学习矩阵的特征值、特征向量等知识打下坚实基础。希望本文能帮助你更好地掌握这一重要概念。
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