【数值计算方法各章节习题答案】在学习《数值计算方法》这门课程的过程中，掌握每一章的核心知识点并能够熟练运用是提升解题能力的关键。为了帮助学生更好地理解和巩固所学内容，本文对教材中各章节的典型习题进行了系统性的整理与解答，旨在为学习者提供一份清晰、全面的学习参考资料。
第一章：误差分析
本章主要介绍了数值计算中的误差来源及其分类，包括绝对误差、相对误差和有效数字等基本概念。通过练习题，学生可以掌握如何估算误差，并理解在实际计算中如何避免因误差积累而导致结果失真。
例题解析：
假设某数的近似值为 $ x = 1.414 $，其真实值为 $ \sqrt{2} \approx 1.41421356 $，求其绝对误差和相对误差。
解答：
绝对误差为 $ |x - \sqrt{2}| = |1.414 - 1.41421356| = 0.00021356 $；
相对误差为 $ \frac{0.00021356}{1.41421356} \approx 0.000151 $。
第二章：非线性方程求根
本章重点讲解了二分法、牛顿迭代法、割线法等常用的非线性方程求根方法。通过习题训练，学生可以加深对这些算法的理解，并学会判断收敛性及选择合适的初始猜测值。
例题解析：
用牛顿法求解方程 $ f(x) = x^3 - x - 2 = 0 $ 的实根，取初始值 $ x_0 = 1.5 $。
解答：
根据牛顿迭代公式 $ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $，计算得：
$ x_1 = 1.5 - \frac{(3.375 - 1.5 - 2)}{(3 \cdot 1.5^2 - 1)} = 1.5 - \frac{-0.125}{5.75} \approx 1.5217 $。
继续迭代可逐步逼近真实根。
第三章：线性方程组的解法
本章涵盖了高斯消去法、列主元消去法、LU分解、雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法等多种求解线性方程组的方法。通过习题，学生可以熟悉不同方法的适用条件与计算步骤。
例题解析：
用高斯消去法解以下方程组：
$$
\begin{cases}
2x + y - z = 1 \\
x - 3y + 2z = -2 \\
-x + 2y + 3z = 3
\end{cases}
$$
解答：
通过消元过程，最终得到上三角矩阵，并回代求出解为 $ x = 1, y = 1, z = 2 $。
第四章：插值与逼近
本章讨论了拉格朗日插值、牛顿插值、样条插值等方法，以及最小二乘法在数据拟合中的应用。通过练习题，学生可以掌握如何构造插值多项式，并理解不同插值方法的优缺点。
例题解析：
已知点 $ (0,1), (1,3), (2,5) $，使用拉格朗日插值法构造二次多项式。
解答：
构造公式为 $ P(x) = 1 \cdot \frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)} + 3 \cdot \frac{(x-0)(x-2)}{(1-0)(1-2)} + 5 \cdot \frac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)} $，化简后得 $ P(x) = 2x + 1 $。
第五章：数值积分与数值微分
本章介绍了梯形法则、辛普森法则等数值积分方法，以及中心差商、前向差商等数值微分方法。通过习题训练，学生可以掌握如何利用这些方法进行近似计算，并评估其精度。
例题解析：
用辛普森法则计算 $ \int_0^1 e^{-x^2} dx $，取 $ n = 2 $。
解答：
根据公式 $ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{3}[f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)] $，其中 $ h = \frac{1-0}{2} = 0.5 $，计算得近似值约为 $ 0.7468 $。
第六章：常微分方程数值解法
本章讲解了欧拉方法、改进欧拉方法、龙格-库塔方法等求解常微分方程的常用算法。通过习题，学生可以了解这些方法的实现步骤及稳定性问题。
例题解析：
用改进欧拉法求解初值问题 $ y' = y - t $，$ y(0) = 1 $，取步长 $ h = 0.1 $，求 $ y(0.1) $。
解答：
首先计算预测值 $ y_p = y_0 + h(y_0 - t_0) = 1 + 0.1(1 - 0) = 1.1 $，再计算校正值 $ y_c = y_0 + \frac{h}{2}[(y_0 - t_0) + (y_p - t_1)] = 1 + 0.05[(1 - 0) + (1.1 - 0.1)] = 1.1 $。
结语
通过对《数值计算方法》各章节习题的详细解答，不仅有助于巩固基础知识，还能提高解决实际问题的能力。希望本篇内容能为广大学习者提供有益的帮助，在今后的学习与实践中不断进步。
