【第六节两角和与差的三角函数】在三角函数的学习过程中，两角和与差的公式是解决复杂角度计算的重要工具。它们不仅在数学中具有广泛的应用，而且在物理、工程、建筑等领域也发挥着重要作用。本节将深入探讨两角和与差的三角函数公式，帮助我们更好地理解和运用这些基本概念。
一、两角和与差的定义
设 α 和 β 是两个任意的角，那么我们可以定义以下几种形式的三角函数：
- 两角和的正弦：sin(α + β)
- 两角差的正弦：sin(α − β)
- 两角和的余弦：cos(α + β)
- 两角差的余弦：cos(α − β)
- 两角和的正切：tan(α + β)
- 两角差的正切：tan(α − β)
这些公式可以帮助我们将两个角的三角函数转换为单个角的表达式，从而简化计算过程。
二、两角和与差的三角函数公式
1. 正弦的和差公式
- sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
- sin(α − β) = sinα cosβ − cosα sinβ
2. 余弦的和差公式
- cos(α + β) = cosα cosβ − sinα sinβ
- cos(α − β) = cosα cosβ + sinα sinβ
3. 正切的和差公式
- tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 − tanα tanβ)
- tan(α − β) = (tanα − tanβ) / (1 + tanα tanβ)
这些公式可以通过单位圆或几何图形进行推导，也可以利用欧拉公式进行代数证明。掌握这些公式后，可以快速求解涉及多个角度的问题。
三、应用实例
例题1：计算 sin(75°)
我们知道 75° = 45° + 30°，因此可以用两角和的正弦公式：
$$
\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin45^\circ \cos30^\circ + \cos45^\circ \sin30^\circ
$$
代入已知值：
$$
\sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin30^\circ = \frac{1}{2}
$$
计算得：
$$
\sin75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
例题2：化简 tan(45° + θ)
使用正切的和角公式：
$$
\tan(45^\circ + \theta) = \frac{\tan45^\circ + \tan\theta}{1 - \tan45^\circ \tan\theta}
$$
因为 tan45° = 1，所以：
$$
\tan(45^\circ + \theta) = \frac{1 + \tan\theta}{1 - \tan\theta}
$$
这有助于我们在实际问题中快速处理角度变化的情况。
四、总结
两角和与差的三角函数公式是三角学中的重要内容，它们不仅帮助我们理解角度之间的关系，还提供了强大的计算工具。通过熟练掌握这些公式，并结合实际例子加以练习，可以显著提高解决相关问题的能力。
在今后的学习中，我们还可以进一步探索这些公式的扩展形式，如三倍角公式、半角公式等，以应对更加复杂的数学问题。
