【指数与对数运算练习题】在数学学习中，指数与对数是两个非常重要的概念，它们不仅在代数中频繁出现，还在函数、方程以及实际问题的建模中有着广泛的应用。掌握好指数与对数的运算规则，对于提升数学思维能力和解题技巧具有重要意义。
本练习题旨在帮助学生巩固指数与对数的基本性质，熟练运用相关公式进行计算和化简。题目涵盖基础运算、化简表达式、求值以及简单的应用问题，适合初中或高中阶段的学生使用。
一、选择题（每题只有一个正确答案）
1. 若 $ 2^x = 8 $，则 $ x $ 的值为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 计算 $ \log_2 16 $ 的结果是：
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3. 已知 $ \log_3 x = 2 $，则 $ x $ 的值为：
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
4. 下列等式中，哪一个是正确的？
A. $ \log_b (xy) = \log_b x + \log_b y $
B. $ \log_b (x + y) = \log_b x + \log_b y $
C. $ \log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b x - \log_b y $
D. A 和 C 都正确
5. 若 $ \ln e^x = 5 $，则 $ x $ 的值为：
A. 1
B. 5
C. e
D. 0
二、填空题
1. $ \log_{10} 1000 = $ ______
2. $ \log_5 25 = $ ______
3. $ 3^4 = $ ______
4. $ \log_2 1 = $ ______
5. $ \ln 1 = $ ______
三、解答题
1. 计算：$ \log_2 8 + \log_3 9 - \log_5 25 $
2. 化简：$ \log_2 (x^3 y^2) $
3. 解方程：$ \log_2 (x + 1) = 3 $
4. 已知 $ \log_2 a = 5 $，求 $ \log_2 a^3 $ 的值。
5. 求 $ \log_7 49 $ 的值。
四、应用题
1. 一个细菌种群以每天翻倍的速度增长，若初始数量为 100 个，问经过 5 天后有多少个细菌？
2. 某种放射性物质的半衰期为 10 年，若初始质量为 100 克，问 30 年后剩余多少克？
3. 某银行年利率为 5%，按复利计算，若本金为 10000 元，问 2 年后本息和是多少？
4. 假设某地区人口年增长率为 2%，若当前人口为 100 万，问 5 年后人口约为多少？
5. 用对数换底公式将 $ \log_3 8 $ 转换为以 10 为底的对数形式。
通过这些练习题，可以进一步加强对指数与对数的理解和运用能力。建议在做题时注意以下几点：
- 熟记基本的指数与对数运算法则；
- 注意运算顺序，避免符号错误；
- 对于复杂表达式，可先进行分解再逐步计算；
- 结合实际问题理解数学公式的意义。
希望同学们在练习中不断积累经验，提高自己的数学素养。
