因式分解是初中数学中的一个重要知识点,也是解决代数问题的基础工具之一。掌握好因式分解的方法,不仅能够帮助学生更好地理解多项式的性质,还能为后续学习方程、函数等内容打下坚实的基础。以下是针对初一年级学生的因式分解练习题,供同学们巩固知识。
练习题部分
第一部分:基础题型
1. 将以下多项式分解因式:
- \(x^2 - 9\)
- \(4y^2 - 16\)
- \(a^2 + 6a + 9\)
2. 判断下列哪些表达式可以进行因式分解,并完成分解:
- \(m^2 + 5m + 6\)
- \(z^2 - z - 20\)
- \(p^2 - 8p + 16\)
3. 使用提取公因式法分解:
- \(3x^3 + 6x^2\)
- \(8y^3 - 12y^2\)
第二部分:进阶题型
4. 对以下多项式进行分组分解:
- \(xy + x + y + 1\)
- \(ab + ac + b^2 + bc\)
5. 利用平方差公式分解:
- \(9x^2 - 25y^2\)
- \(16a^2b^2 - c^2\)
6. 结合完全平方公式和提取公因式法分解:
- \(4x^2 + 12xy + 9y^2\)
- \(25m^2n^2 - 10mn + 1\)
第三部分:综合应用题
7. 已知一个长方形的长为\(x+3\)米,宽为\(x-2\)米,求其面积并将其化简。
8. 若多项式\(ax^2 + bx + c\)可分解为\((x+p)(x+q)\),且已知\(p+q=5\),\(pq=6\),试确定\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。
9. 某商品原价为\(P\)元,经过两次降价后价格变为\(Q\)元。若每次降价的比例相同,则该比例是多少?请用因式分解的方法解答。
参考答案(仅供检查使用)
1. \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\),\(4y^2 - 16 = 4(y-2)(y+2)\),\(a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2\)
2. \(m^2 + 5m + 6 = (m+2)(m+3)\),\(z^2 - z - 20 = (z-5)(z+4)\),\(p^2 - 8p + 16 = (p-4)^2\)
3. \(3x^3 + 6x^2 = 3x^2(x+2)\),\(8y^3 - 12y^2 = 4y^2(2y-3)\)
4. \(xy + x + y + 1 = (x+1)(y+1)\),\(ab + ac + b^2 + bc = (a+b)(b+c)\)
5. \(9x^2 - 25y^2 = (3x-5y)(3x+5y)\),\(16a^2b^2 - c^2 = (4ab-c)(4ab+c)\)
6. \(4x^2 + 12xy + 9y^2 = (2x+3y)^2\),\(25m^2n^2 - 10mn + 1 = (5mn-1)^2\)
7. 面积为\((x+3)(x-2) = x^2+x-6\)平方米。
8. \(a=1\),\(b=5\),\(c=6\)。
9. 设降价比例为\(r\),则\(P(1-r)^2 = Q\),解得\(r = \sqrt{\frac{P-Q}{P}}\)。
通过以上练习题的训练,相信同学们对因式分解的概念及方法有了更深刻的理解。希望每位同学都能在实践中不断进步!