分部积分公式的表达式为：

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

其中，\(u\) 和 \(v'\)（即 \(dv/dx\)）是被积函数中的两个部分。通过合理选择 \(u\) 和 \(dv\)，可以简化原积分的计算过程。通常情况下，选择 \(u\) 时会倾向于选择那些易于求导且导数次数减少的函数；而选择 \(dv\) 则更偏向于那些容易直接积分的函数。

例如，在处理形如 \(\int x e^x dx\) 的积分时，我们可以令 \(u = x\) 和 \(dv = e^x dx\)。这样，\(du = dx\) 而 \(v = e^x\)。代入公式后得到：

\[ \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C \]

值得注意的是，并非所有的积分都适合使用分部积分法解决。对于某些特定类型的积分，比如三角函数或对数函数等复杂组合体，可能需要结合其他积分技巧共同完成。此外，在反复运用分部积分法的过程中，还可能出现循环现象，此时就需要特别注意观察是否能够找到突破口以避免无谓的重复计算。

总之，掌握好分部积分法不仅有助于提高解决具体数学问题的能力，同时也是培养逻辑思维能力和创新能力的良好途径之一。在学习过程中，建议多做练习题并总结规律，以便更加熟练地运用这一工具来应对各种挑战。